数学建模论文

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南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics 所得税缴费点选址问题 作者:李鸣 郭桂江 周鹏程 摘要 近年来,图论在生产生活和科学技术研究中的作用日趋显著,特别是大型电 子计算机的出现和计算机科学的迅猛发展, 为图论及其算法的解决了强大的 计算和证明的手段。

本文的主要内容是结合图论的相关知识对居民所得税缴费点 的选址提出合理的标准,并进行合理优化的选址。

通过建立图的邻接矩阵将原始 数据存入计算机,并借助 MatlAB 软件编写求任意两点间最短路径的 Floyd 算法 程序实现最短路径的求解。

通过对原始数据的分析和不断修改计算, 本文从缴费点周围的居民数量和居 民距离缴费点的距离等方面分析了各种方案的预测数据并得出了一些有社会价 值的结论。

如果按照最优化方案,即选用 2,4,7,12 为缴费点,得出最短路径为 10850(百米*千人) 。

按增加一个点的方案则应增加 5 位置为缴费点,算出最短 路径为 10724(百米*千人) 。

如果想在原来基础上迁移一个点,则应撤掉 15 号 点的缴费点,在 4 号点建缴费点。

本次设计很好地将图论应用于实际生活。

关键词: 关键词:图论 Floyd 算法 最短路径 邻接矩阵 MatlAB 求解 一、 问题重述 所得税管理部门计划对某个区域中的缴费点进行重新设计。

该区域原来有 4 各缴费点,分别位于图 1 的 2,6,13,15 位置。

图 1 是该区域的一个实际简化, 其中连接线表示有道路相通,连接线上数字表示两地距离(单位百米) ,圆圈内 数字是位置序号。

1

南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics 各点代表的居民数见表 1。

表 1 各点居民数(单位千人) 位置 人数 位置 人数 1 50 10 30 2 45 11 30 3 45 12 36 4 48 13 25 5 40 14 20 6 40 15 15 7 36 16 20 8 32 17 10 9 32 18 10 请你解决如下问题: (1)给出合理选址的标准。

(2)根据你的标准,分析原来的选址是否合理? (3)如果考虑迁移 1 个缴费点,应该迁移那个缴费点,迁到那里? (4)如果在原方案中增加一个新的缴费点,该点最好设在那里? 2

南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics 二、 模型假设 1. 假设同一个居民点的所有居民到到同一个缴费点缴费。

2. 假设每个居民都到离自己最近的点缴费。

3. 假设缴费点的接待能力无限大,过多的人不影响缴费点处的工作效率和 工作质量 4. 假设缴费点每天每时每刻都可以交费。

5. 假设每条通往缴费点的路在任何时刻都畅通无阻。

三、符号说明 符号说明 D a —— —— 两个缴费点(i,j)之间的距离 题目中给定图的邻接矩阵 两个缴费点(i,j)之间的路线 佛洛依德算法 path —— floyd —— B —— 通过 floyd 算法求得的最短路径矩阵 Shortjourney 最短路径 Sum(i) —— 最短路径长 所选择的最佳点的位置 各个方案的距离值 Position— an(i) —— A C P Q W V 表示各个不同的矩阵 3

南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics 四、模型的建立与求解 问题一 问题一: 我们可以选择如下选址标准: 所选的四个点能够使所有居民到达离自身 最近的缴税点的总路程最小,路程是指该点的人数乘以该点到缴税点的距 离。

如:如①到②距离应为: ① ② (居民数 50 )*(距离 20)=1000(千人*百米), 问题二: 问题二: 根据该选址标准,可将本问题转化为图论中的最短路径问题,可以通过 Floyd 算法编程实现求解,采用的软件是 MatlABR2007a. 数据存储 1. 数据存储 因为所给图为无向带权图,所以要根据图论和数据结构的知识转化为邻接 矩阵,来储存数据,并将数据输入 MatlAB 中。

所得邻接矩阵如下: a= [ 0 20 18 18 15 20 0 26 18 26 0 18 15 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf; inf inf inf 30 28 30 30 inf inf inf inf inf inf; inf 26 inf inf inf inf; inf inf; inf 28 20 0 inf inf inf inf inf inf inf 20 18 0 18 50 inf 20 28 inf inf inf inf inf inf inf inf 18 32 inf 18 inf 38 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf; inf inf inf 18 inf inf inf 50 inf 0 38 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 36; inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 34; 36 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf; inf inf inf inf inf inf inf inf inf; 30 0 inf inf inf inf inf inf inf; 26 0 28 32 28 0 inf inf inf inf inf; inf inf inf inf inf; 32 0 inf inf inf inf; 34 inf inf inf; inf 0 inf inf inf inf 32 inf 30 inf 28 inf 30 inf 30 inf inf 0 inf inf inf inf inf 36 inf inf inf inf inf inf inf 0 inf inf inf inf inf inf inf 30 20 inf inf inf inf inf inf inf 26 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 32 inf inf 26 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 32 4

南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 34 inf inf inf 18 0 24 0 30 36 30 0 inf; inf; 32; 0 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 24 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf 36 inf inf inf inf inf 36 34 inf inf inf inf inf inf inf inf inf 32 ] 数据分析 2. 数据分析 根据上述矩阵采用floyd算法编制求解最短路径的程序,在MatlAB中运行 。

算法程序如下: function [D,path]=floydz(a) n=size(a,1); D=a;path=zeros(n,n); 定义函数 设置 D 和 Path 的初值 for i=1:n for j=1:n if D(i,j)~=inf path(i,j)=j; end end j 是i 的后继点 end for k=1:n for i=1:n for j=1:n 做 n 次迭代, 每次迭代均更新 D(i,j) 和 path(i,j) if D(i,k)+D(k,j)

南京财经大学 Nanjing University of Finance & Economics end end end end 在 MatlAB 中运行得出最短路径矩阵 B(详细程序见附录) : 通过进一步编程带入数据求得最佳缴费点:(详细程序见附录) >> position(位置) position = 2 >> 4 7 12 >> an(最短路程) an = 10850 >> 6

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