2016年高考数学模拟试题(全国新课标卷)

2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟. 第 Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. i 为虚数单位,复数 A. 2  i C. i  2 D.  i  2                2.等边三角形 ABC 的边长为 1 ,如果 BC  a, CA  b, AB  c, 那么 a  b  b  c  c  a 等 于 A. 3i = 1 i B. 2  i 3 2 B.  3 2 C. 1 2 y D.  1 2 1 1 3.已知集合 A  {x  Z || x 2  4 x | 4} , B  { y  N  |    } ,记 card A 为集合 A 的元素 8 2 个数,则下列说法不正确 的是 ... A.card A  5 B.card B  3 C.card( A  B)  2 D.card( A  B)  5 4. 一个体积为 12 3的正三棱柱的三视图如图所示, 则该三棱柱的侧 视图的面积为 A.6 3 B.8 C.8 3 D.12 5. 过抛物线 y  4 x 的焦点作直线交抛物线于点 P  x1 , y1  , Q  x2 , y2  两点, 若 x1  x2  6 , 2 则 PQ 中点 M 到抛物线准线的距离为 A.5 B.4 C.3 D.2 6.下列说法正确的是 A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 C.事件 A、B 中至少有一个发生的概率一定比 A、B 中恰有一个发生的概率大 D.事件 A、B 同时发生的概率一定比 A、B 中恰有一个 开始 发生的概率小 输入a0 , a1 , a2 , a3 , x0 7.如图是秦九韶算法的一个程序框图,则输出的 S 为 k  3, S  a3 A. a1  x0 (a3  x0 (a0  a2 x0 )) 的值 B. a3  x0 (a2  x0 (a1  a0 x0 )) 的值 C. a0  x0 (a1  x0 (a2  a3 x0 )) 的值 D. a2  x0 (a0  x0 (a3  a1 x0 )) 的值 k 0 是 否 输出S 结束 k  k 1 S  ak  S  x0 理科数学试题 第 1 页(共 4 页)

图1

1 n 8.若(9x- ) (n∈N*)的展开式的第 3 项的二项式系数为 36,则其展开式中的常数项为 3 x A.252 1 B.-252 1 1 C.84 D.-84 1 9.若 S1=2 dx,S2=2(lnx+1)dx,S3=2xdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为 x   A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3 2 2 C.S1<S3<S2 D.S3<S1<S2 10.在平面直角坐标系中,双曲线 x y   1 的右焦点为 F,一条过原点 O 且倾斜角为锐角的 12 4 直线 l 与双曲线 C 交于 A,B 两点。

若△FAB 的面识为 8 3 ,则直线 l 的斜率为 A. 2 13 13 B. 1 2 C. 1 4 D. 7 7 11.已知三个正数 a,b,c 满足 a  b  c  3a , 3b2  a(a  c)  5b2 ,则以下四个命题正确 的是 p1:对任意满足条件的 a、b、c,均有 b≤c; p3: 对任意满足条件的 a、 b、 c, 均有 6b≤4a+c; A.p1,p3 B.p1,p4 p2:存在一组实数 a、b、c,使得 b>c; p4: 存在一组实数 a、 b、 c, 使得 6b>4a+c. C.p2,p3 D.p2,p4 12.四次多项式 f ( x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ( x ) 的所有根中最大根与 最小根之差是 A.2 B.2 3 C.4 D. 2 5 理科数学试题 第 2 页(共 4 页)

图2

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题包括 4 小题,每小题 5 分. 13.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y 之间有如下对应数据(单位:百万元) . x y 2 30 4 40 5 6 8 . 60 t 70 根据上表提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为^ y=6.5x+17.5, 则表中 t 的值为 π 14.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, ]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则 ω 的 2 取值集合为 . 15.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45° ,则 棱锥 S-ABC 的体积为 . 16.等比数列{an}中,首项 a1=2,公比 q=3,an+an+1+„+am=720(m,n∈N*,m>n), 则 m+n= . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在  ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,证明: (1) b cos C  c cos B  a ; cos A  cos B  (2) ab 2sin 2 c C 2 . 18. (本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC  A1 B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. (1)求证:直线 AB1  平面A1 BD ; (2)求二面角 A  A1 D  B 的大小正弦值; 19. (本小题满分 12 分) 对某交通要道以往的日车流量(单位:万辆)进行统计,得到如下记录: 日车流量 x 0 x5 5  x  10 10  x  15 15  x  20 20  x  25 x  25 0.05 0.25 0.35 0.25 0.10 0 频率 将日车流量落入各组的频率视为概率,并假设每天的车流量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日车流量都不低于 10 万辆且另 1 天的日车流量 低于 5 万辆的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天时间里日车流量不低于 10 万辆的天数,求 X 的分布列和数学期 望. 理科数学试题 第 3 页(共 4 页)

图3

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: x2 y 2 3  2  1(a  b  0) 的焦距为 2 且过点 (1, ) . 2 2 a b (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若椭圆 C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点 F1 , F2 ,求该平行四边形面 积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x)  ax2  bx  c ln x , (其中 a , b, c 为实常数) (1)当 b  0, c  1时,讨论 f ( x) 的单调区间; (2)曲线 y  f ( x) (其中 a  0 )在点 (1 ,f (1)) 处的切线方程为 y  3x  3 , (ⅰ)若函数 f ( x) 无极值点且 f ' ( x) 存在零点,求 a , b, c 的值; (ⅱ)若函数 f ( x) 有两个极值点,证明 f ( x) 的极小值小于 - 3 . 4 请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图 AB 是圆 O 的一条弦,过点 A 作圆的切线 AD ,作 BC  AC ,与该圆交于点 D ,若 AC  2 3 , CD  2 . (1)求圆 O 的半径; (2)若点 E 为 AB 中点,求证 O, E, D 三点共线. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为   x  2 cos 2   y  sin 2 ( 是参数) ,以原点 O 为极 1 . sin   cos  点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为   (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C1 上的任意一点 P 到曲线 C2 的最小距离,并求出此时点 P 的坐标. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) | 2 x  a | a . (1) 若不等式 f ( x) ≤ 6 的解集为 {x | 2 ≤ x ≤ 3} ,求实数 a 的值; n ) 恒成立,求实数 m 的取值范围. (2) 在(1)条件下,若存在实数 n ,使得 f (n) ≤m  f (  理科数学试题 第 4 页(共 4 页)

图4

2016 年高考模拟数学试题(全国新课标卷)参考答案 一、选择题:本大题包括 12 小题,每小题 5 分。

1-12 BDAA BBCC ABCD 二、填空题: 1 2 4 3 14.{ , ,1} 15. 3 3 3 三、解答题: 17.证法一: (余弦定理法) 13. 50 (1) b cos C  c cos B  b 16.9 a 2  b2  c2 a 2  c 2  b 2 2a 2 c  a 2ab 2ac 2a a 2  c2  b2 b2  c2  a 2  cos A  cos B 2ac 2bc  (2) ab ab ab 2  ac 2  a 3  a 2b  bc 2  b3 2ab  a 2  b 2  c 2   2abc(a  b) 2abc 2sin 2 a 2  c 2  b2 C 1 2ab  a 2  b2  c 2 2ac 2  1  cos C  ,所以等式成立  c c c 2abc 证法二: (正弦定理法) (1)在  ABC 中由正弦定理得 b  2 R sin B, c  2 R sin C ,所以 b cos C  c cos B  2 R sin B cos C  2 R sin C cos B  2 R sin( B  C )  2 R sin A  a (2)由(1)知 b cos C  c cos B  a , 同理有 a c o sC c c o s A  b 所以 b cos C  c cos B  a cos C  c cos A  a  b 即 c(cos B  cos A)  (a  b)(1  cos C)  (a  b)  2sin 2 C 2 所以 cos A c o Bs  ab C 2 s i 2n 2 c 18. 解: (1)取 BC 中点 O ,连结 AO .  ABC 为正三角形, AO  BC  直棱柱ABC  A1 B1C1  平面ABC  平面BCC1 B1 且相交于 BC  AO  平面BCC1 B1 取 B1C1 中点 O1 ,则 OO1 // BB1  OO1  BC 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系 O  xyz , 理科数学试题 第 5 页(共 4 页)

图5

则 B1,0,0, D1,1,0, A1 0,2, 3 , A 0,0, 3 , B1 1,2,0, C(1,0,0)      AB1  1,2, 3 , BD   2,1,0, BA1   1,2, 3     ,  AB1  BD  0, AB1  BA 1 0  AB1  BD, AB1  BA1 .  AB1  平面 A1BD . (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n  x, y, z  . AD   1,1, 3 , AA . 1  0,2,0    n  AD, n  AA 1,  x  y  3 z  0  2 y  0   由(1) AB   1,2, 3 为平面 A BD 的法向量. 1 1 令 z  1 得 n   3,0,1 为平面 A1 AD 的一个法向量.  cos  n, AB1   6 . 4 10 . 4  所以二面角 A  A1 D  B 的大小的正弦值为 19. 解: (Ⅰ)设 A1 表示事件“日车流量不低于 10 万辆”,A2 表示事件“日车流量低于 5 万辆”,B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日车流量不低于 10 万辆且另 1 天车流 量低于 5 万辆”.则 P(A1)=0.35+0.25+0.10=0.70, P(A2)=0.05, 所以 P(B)=0.7×0.7×0.05×2=0.049 (Ⅱ) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率分别为 0 P( X  0)  C3  (1  0.7)3  0.027, 1 P( X  1)  C3  0.7  (1  0.7)2  0.189, 2 P( X  2)  C3  0.72  (1  0.7)  0.441, 3 P( X  3)  C3  0.73  0.343. X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.027 0.189 0.441 因为 X~B(3,0.7),所以期望 E(X)=3×0.7=2.1. 3 0.343 理科数学试题 第 6 页(共 4 页)

图6

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